刘硕和关昕相关变化率 设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 . 相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 例1 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直 上升 , 其速率为 140 米 / 秒 .当气球高度为 500 米时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ? 解 设气球上升 t秒后 , 其高度为 h, 观察员视线 的仰角为 α , 则 h tanα = 500 2 500米 dα 1 dh 500米 = ? 上式两边对 t求导得 sec α ? dt 500 dt dh Q = 140米 / 秒, 当 h = 500米时, sec 2 α = 2 dt dα ∴ dt = 0.14 (弧度 / 秒 ) 仰角增加率 α 河水以 8米 3 / 秒的体流量流入水库中 , 水库 例2 形状是长为 4000 米 , 顶角为 120 的水槽 , 问水深 0 20米时 , 水面每小时上升几米 ? 解 设时刻 t水深为 h( t ), (t 水库内水量为 V ( t ), 则 V ( t ) = 4000 3h2 dV dh 上式两边对 t求导得 dt = 8000 3h ? dt dV Q = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, 米时 dt dh 水面上升之速率 ≈ 0.104米 / 小时 dt 600 小结 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 式求导法求解. 公里/ 、 1、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向 东行驶， 公里， 东行驶， 乙船在甲船之北 16 公里， 8 公里/小时的速 以 公里/ 率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？ 率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？ 米的正圆锥形容器中， 2、 注入水深 8 米， 上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 立方米， 米时， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？ 面上升的速率为多少？ 1、-2.8(公里/小时). 2.8(公里/小时). 公里 16 ≈ 0.204 (米/分). 2、 25π
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